Мистика математики: Пять красивых математических явлений

Узор и симметрия, может быть вас немного удивит, но они могут быть математической формулой того, что мы находим красивым и прекрасным.
Математика есть в природе везде, даже там, где мы ее точно не ожидаем увидеть. Она может помочь объяснить нам спирали далеких галактик и морских раковин, повторяющиеся узоры и изгибы рек. Даже наши субъективные эмоции, такие как то, что мы находим для себя что-то красивым, а что-то нет, тоже можно объяснить с помощью математики.
“Математика прекрасна, но и красота само по сути математична” – говорит Томас Бритц, преподаватель Школы математики и статистики в Университете Южного Уэльса, Сидней, Австралия. – “Эти два вроде бы совершенно разных понятия, на самом деле очень тесно переплетены.”
Доктор Бритц работает в комбинаторике, сфокусированной на комплексном подсчете и решении головоломок. В то время как комбинаторика находится в рамках чистой математики, доктор Бриц всегда интересовался философскими вопросами о математике.

И он находит красоту в математическом процессе.

“С личной точки зрения, математику просто очень интересно делать. Я любил это с самого детства. Иногда красота и удовольствие от математики заключается в понятиях, или в результатах, или в объяснениях. В других случаях это мыслительные процессы, которые заставляют ваш мозг получать удовольствие от этого и положительные эмоции, или просто работа когда вы уловили поток и нужное направление – это ведь как чтение хорошей книги, когда ты полностью погружаешься и забываешься в перипетиях повествования”.
Математика и красота. Вот несколько вещей, которые тесно взаимосвязаны между двумя этими понятиями:

Наука. Этот таинственный мир
Симметрия везде, куда бы вы ни посмотрели.

1. Симметрия. Как бы это ни было удивительно

В 2018 году доктор Бритц выступил с докладом на TED по математике эмоций, где он использовал последние исследования по математике и эмоциям, чтобы показать, как математика может помочь объяснить наши эмоции, например, такие как красота.“Наш мозг вознаграждает нас, когда мы распознаем закономерности, будь то видение симметрии, организация частей целого или решение головоломок”, – говорит он.“Когда мы замечаем что-то отклоняющееся от шаблона – когда когда мы касаемся чего-то неожиданного – наш мозг снова вознаграждает нас. Мы чувствуем восторг и волнение”.

Например, люди воспринимают симметричные лица как красивые. Тем не менее, легкое нарушение симметрии или какой-то черты, которая как бы нарушает стройность, но добавляет неповторимости и шарма и от этого нам кажется еще более красивым.“Эту же идею можно увидеть и в музыке”, – говорит доктор Бритц. “Узорные и упорядоченные звуки с оттенком неожиданности могут добавить индивидуальности, очарования и глубины”.Многие математические концепции демонстрируют сходную гармонию между рисунком и удивлением, элегантностью и хаосом, правдой и тайной.“Смешение математики и красоты само по себе прекрасно”, – говорит доктор Бритц.

Наука. Этот таинственный мир
Каждая ветвь папоротника выпускает меньшие версии себя. Иногда паттерн маленьких листьев даже можно увидеть на на крупных листьях.

2. Фракталы: призрачные и бесконечные

Фракталы – это самореферентные паттерны, которые в некоторой степени повторяются в меньших масштабах. Чем ближе вы смотрите, тем больше повторений вы увидите – как стебли с листьями папоротника.
«Эти повторяющиеся модели встречаются повсюду в природе», – говорит доктор Бритц. «В снежинках, речных сетях, цветах, деревьях, ударах молнии – даже в наших кровеносных сосудах».
Фракталы в природе часто могут повторяться только несколькими слоями, но теоретические фракталы могут быть бесконечными. Многие компьютерные симуляции были созданы как модели бесконечных фракталов.


Подпишитесь и получайте свежие статьи первыми:


“Вы можете сосредоточиться на фрактале, всматриваясь все дальше и глубже, но никогда не доберетесь до конца” – говорит Бритц. – “Фракталы бесконечно глубоки, но в то же время, призрачны, так как они пусты и не несут информации. У вас может быть целая страница, полная фракталов, но общая нарисованная вами область будет по-прежнему равна нулю, потому что это просто набор бесконечных линий”.

Наука. Этот таинственный мир
Набор Мандельброта, пожалуй, самый известный компьютерный фрактал. При увеличении изображения вы увидите точно такое же изображение в меньшем масштабе – головокружительная и гипнотическая бесконечная петля. 

3. Число Пи. Непостижимая правда

Пи (или «π») – это число, которое впервые изучается в геометрии сосредней школы. Проще говоря, это то число которое чуть больше 3.
Пи в основном используется при работе с кругами, например, при расчете окружности круга, используя только его диаметр. Правило состоит в том, что для любого круга расстояние вокруг края примерно в 3,14 раза больше расстояния через центр круга.

Но Пи намного больше, чем это.
“Когда вы посмотрите на другие аспекты природы, то вы внезапно обнаружите Пи повсюду”, – говорит доктор Бритц. – “Мало того, что это связано с каждым кругом, но иногда Пи появляется в формулах, которые не имеют ничего общего с кругами, как, например, в вероятности и исчислении”.

Наука. Этот таинственный мир
Число Пи привязано к океану и звуковым волнам через ряд Фурье, формулу, используемую в ритмах и циклах.

Несмотря на то, что это самое известное число (Кстати, Международный день Пи отмечается ежегодно 14 марта, 3.14 в американском формате даты), вокруг него много загадок.
“Мы много знаем о Пи, но на самом деле ничего не знаем о Пи”, – говорит доктор Бритц. – “В этом есть красота – прекрасная дихотомия или напряжение”.
Пи бесконечно и по определению непостижимо. Никакой паттерн еще не был так скрупулезно идентифицирован в его десятичных точках.

В настоящее время мы знаем 50 триллионов цифр числа Пи, рекорд побитый ранее в этом году. Но, поскольку мы не можем рассчитать точное значение Pi, мы никогда не сможем полностью точно рассчитать окружность или площадь круга – мы можем приблизиться к точности.
“Для Пи есть какая-то скрытая правда, которую мы не понимаем. И эта мистика делает его еще красивее “.

4. Золотое и древнее соотношение

Наука. Этот таинственный мир
Золотая спираль часто используется в фотографии, чтобы помочь фотографам создать эстетическое обрамление изображения.

Золотое сечение (или ϕ), пожалуй, самая популярная математическая теорема для красоты. Это считается наиболее эстетичным способом пропорции объекта.

Соотношение может быть сокращено примерно до 1,618. Когда оно представлено геометрически, то соотношение создает золотой прямоугольник или золотую спираль.

“На протяжении всей истории это отношение считалось эталоном для идеальной формы, будь то архитектура, произведения искусства или человеческое тело”, – говорит доктор Бритц. – “Раньше это называлось “Божественная пропорция”. Многие известные произведения искусства, в том числе работы Леонардо да Винчи, были основаны на этом соотношении”.
Золотая спираль часто используется и в наши дни, особенно в искусстве, дизайне и фотографии. Центр спирали может помочь художникам создать фокус изображения с эстетической точки зрения.

5. Парадокс ближе к магии

Наука. Этот таинственный мир
Дублирование шаров невозможно – верно?

Непознаваемая природа математики может заставить его казаться ближе к магии, чем к науке.Знаменитая геометрическая теорема, называемая парадоксом Банаха-Тарского, гласит, что если у вас есть шар в трехмерном пространстве и если разбить его на несколько отдельных частей, то есть способ собрать части так, чтобы вы создали два таких же шара.
“Это уже интересно, но становится еще страннее”, – говорит доктор Бритц. – “Ведь получается, когда будут созданы два новых шара, они будут того же размера, что и первый шар”.

С точки зрения математики, тут нет противоречий, эта теорема работает – и математически возможно собрать части так, чтобы удвоить шары.
“Но, к сожалению, вы не можете сделать это в реальной жизни”, – говорит доктор Бритц. – “Но вы можете сделать это в математике”.
Фракталы, парадокс Банаха-Тарского и число Пи – лишь крайне малая часть математических концепций, в которых ученый находит красоту.

“Чтобы увидеть и прочувствовать еще больше красот математики, вам нужно больше базовых знаний”, – говорит доктор Бритц. “Вам нужно много базовых и, зачастую, очень скучных тренировок ума. Это немного похоже на миллион отжиманий перед тем, как заняться спортом. Но оно того стоит, поверьте. И я надеюсь, что людей, получающих удовольствие от математики, будет расти с каждым годом. Здесь так много красоты, которую можно раскрыть для себя и окружающих и насладиться ею в полной мере”.