Парадоксы давно ставят проблему перед нашим мировоззрением: нужен ли нам ответ в виде менее бинарного понимания логики?
Если бы я спросил, является ли Земля шарообразной, большинство читателей ответили бы утвердительно. Только педантичные люди указали бы на то, что она является сплюснутым сфероидом, но с технической точки зрения те, кто согласился с этим утверждением, были бы неправы. Однако очевидно, что они ошибаются не больше, чем те, кто утверждает, что Земля плоская. Существуют степени ошибочности, которые часто очень важны; возможно, это подразумевает, что существуют и степени истинности. Однако мы часто опираемся на классическую логику, которая предполагает только два значения: истина и ложь, что может приводить к парадоксам, когда любой из вариантов приводит к противоречию.
По одному из определений, логика – это “метод рассуждений, включающий ряд утверждений, каждое из которых должно быть истинным, если истинно предшествующее ему утверждение”. В таком виде логика кажется безупречной. Любые сбои могут быть связаны только с тем, что предварительное утверждение неверно, или одно из последующих утверждений не так однозначно, как это утверждается.
Когда мы говорим о “несовершенной логике”, то обычно имеем в виду одно из следующих: кто-то начинает с неверного предположения и на этом шатком фундаменте строит кучу выводов. Это эквивалентно принципу “мусор на входе – мусор на выходе”, когда в ошибках компьютера виновата не система, а данные, которые ей были предоставлены. Как вариант, исходная посылка верна, но в какой-то момент одно из множества возможных следствий стало рассматриваться как единственно возможное.
Решение ошибок в каждом случае очевидно, хотя и не всегда легко реализуемо. В первом случае нужно просто лучше проверять свои предпосылки. Во втором случае необходимо проверять каждый шаг, чтобы убедиться в его надежности.
Еще тысячи лет назад греческие философы ставили перед логикой более серьезные задачи в виде парадоксов. Парадоксы, несомненно, гораздо древнее, но именно такие мыслители, как Зенон из Элеи, дали нам название и закрепили идею противоречивых выводов из, казалось бы, обоснованных предпосылок как вызов природе реальности.
Первоначальные парадоксы (насколько мы можем судить) были созданы для того, чтобы бросить вызов нашему ощущению реальности, а не для того, чтобы поставить под сомнение логику. Многие парадоксы, как первоначальные, так и более поздние, в конечном итоге имели вполне логичные решения, которые просто не были очевидны в то время. Другие же представляют собой более глубокую проблему.
Согласно одному из определений, парадокс – это “аргумент, в котором из допустимых предпосылок путем правильного вывода делаются противоречивые заключения”.
Нарушение бинарности
Однако другие парадоксы представляют собой более фундаментальную проблему, достаточную для того, чтобы поставить вопрос о логике в самой ее основе. Эти парадоксы, называемые антиномиями, вступают в противоречие не только с нашими наблюдениями, но и со своей собственной внутренней логикой.
Некоторые, а возможно, и все антиномии возникают на основе бинарного взгляда на мир. Например, одна из самых известных – “Парадокс лжеца” – включает в себя такие примеры, как “Это утверждение ложно”. Суть парадокса – самореференция, то есть указание предложения на самого себя.
Если мы считаем, что вещи могут быть только истинными или ложными, как единицы и нули в компьютере, то это утверждение порождает своего рода рекурсивный цикл, который восхищает людей на протяжении веков.
Однако некоторые философские традиции, в частности, азиатская, более спокойно относятся к идее о том, что истина может быть спектром, чем европейская, которая в значительной степени опирается на классическую Грецию.
За несколько столетий до того, как Аристотель формализовал правила логики, на которые в основном опирается Запад, джайны разрабатывали доктрину Анеканта-вады, согласно которой все утверждения содержат как истину, так и ложь.
Не исключено, что появление квантовых компьютеров, в которых суперпозиции единицы и нуля в изменяющихся соотношениях заменяют двоичные биты, подтвердило эти альтернативные взгляды.
В основе многих логических парадоксов лежит убеждение, что нечто является либо одним, либо другим. Это почти полностью разрушается на субатомном уровне, когда фотоны являются одновременно и частицами, и волнами, но в более привычных контекстах это не всегда так хорошо работает, что иллюстрирует первоначальны пример с формой Земли.
Знаменитый вопрос о том, наполовину полон или наполовину пуст стакан, намекает на другой пример. И то, и другое верно, но в какой момент мы можем исключить “половину” и сказать: “Мой стакан пуст”? Должен ли он быть абсолютно сухим, или несколько капель тоже можно отнести к пустому стакану?
Нечеткая логика была изобретена для того, чтобы попытаться отразить эту сложность, позволяя истинностному значению предложения находиться в диапазоне от единицы до нуля.
Возможно, реальное принятие решений человеком имеет больше общего с нечеткой логикой, чем с булевой логикой единиц и нулей.
Однако, несмотря на то, что нечеткая логика используется в искусственном интеллекте, анализе медицинских изображений и т.д., она так и не смогла вытеснить классическую версию в большинстве образовательных систем и приложений.
Возможно, это связано с тем, что укоренившиеся культурные традиции очень трудно изменить. С другой стороны, можно утверждать, что традиционная логика все еще имеет много достоинств.
Решенные парадоксы – победа логики?
Парадоксы бывают разных видов, и не все они представляют проблему для логики, более того, многие из них ее оправдывают. Чаще всего парадоксы противоречат не самим себе, а наблюдаемой реальности, и их часто удается разрешить путем объединения логики с более глубоким исследованием.
Например, некоторые парадоксы оказываются полезными способами показать, что реальность сложнее наших наивных представлений. Другие парадоксы связаны с некой ловкостью рук, например, деление на ноль для “доказательства” того, что 1=2.
Один из оригинальных парадоксов, представленных Зеноном (перефразированный Аристотелем и другими учеными), представлял собой крайне нечестную гонку между Ахиллесом и черепахой. Ахиллес спортивно дает своему рептильному сопернику фору. Мы знаем, что при достаточно длительном забеге этого будет недостаточно, более быстрый бегун в конце концов обгонит более медленного. Однако, утверждал Зенон, к тому времени, когда Ахиллес достигнет точки, с которой стартовала черепаха, черепаха успеет немного продвинуться, а к тому времени, когда Ахиллес преодолеет это второе расстояние, черепаха продвинется еще на немного. Ахиллес постоянно настигает черепаху, но, согласно этой точке зрения, никогда не может ее догнать.
Аристотель дал ответ, но опасения, что он недостаточен, послужили толчком к изучению бесконечных рядов, которые оказались исключительно ценными для науки.
Не всех удовлетворяют такие математические решения, а некоторые считают это все еще нерешенной метафизической проблемой. Тем не менее, классическая логика неплохо справляется с подобной задачей: она не только не дискредитируется, но и привела нас к чему-то истинному и полезному.
Точно так же парадокс о том, почему ночное небо темное, был использован для доказательства того, что Вселенная не бесконечна, хотя с тех пор мы узнали, что она расширяется.
Есть и другие парадоксы, которые пока не имеют полного решения, но ученые уже находят его. Например, парадокс слабого молодого Солнца отмечает, что звезды с массой, подобной массе Солнца, в течение первого миллиарда лет излучают меньше тепла и света, чем они излучают в нынешнем возрасте Солнца.
Следовательно, в первоначальной форме парадокса Земля должна была быть гораздо холоднее в Катархейский эон, что исключало бы наличие жидкой воды. Однако мы знаем, что океаны Земли существуют уже 4,4 млрд. лет. Более обильное содержание углекислого газа и, соответственно, более сильный парниковый эффект в значительной степени решили эту проблему для Земли, но она продолжает беспокоить исследователей Марса. Объяснение того, какие газы могли составлять марсианскую атмосферу в Нойский период и куда они делись, – это постоянная проблема, но мы вполне можем рассчитывать на ее решение, не выбрасывая книгу логики.
Может быть, нам нужно слово (возможно, “метапарадокс”) для обозначения того факта, что парадоксы могут как обнажать недостатки классической логики, так и демонстрировать ее силу.
Стивен Лунц, Australasian Science.
Читайте также: Призраки, реальность и наука