Что такое парадокс дня рождения?

Вот забавная головоломка: Насколько большой должна быть случайная группа людей, чтобы вероятность того, чтобы хотя бы у двоих из них будет общий день рождения, составляла 50%? Ответ – 23 человека. Многих это удивляет, но это так.

Размышляя над этим вопросом, известным в статистике как “проблема дня рождения” или “парадокс дня рождения”, многие интуитивно приходят к цифре 183. Поскольку это половина всех возможных дней рождения, учитывая, что в году 365 дней. Но, сожалению, интуиция часто подводит при решении статистических задач.

“Я люблю такие задачи, потому что они иллюстрируют, как люди не умеют работать с вероятностями, что приводит к принятию неверных решений или неправильным выводам, – говорит Джим Фрост, статистик, написавший три книги. – Кроме того, они показывают, насколько полезной может быть математика в плане улучшения нашей жизни. Контринтуитивные результаты этих задач забавны, но они также служат важной цели”.

Чтобы получить правильный ответ на задачу о дне рождения, Фрост начал с нескольких предположений. 

Во-первых, он не стал учитывать високосные годы, поскольку это упрощает математику и не сильно влияет на результаты. Далее он предположил, что все даты дней рождения имеют равные шансы на существования, что логично.

Если вы начнете с группы из двух человек, то вероятность того, что день рождения первого человека не совпадает со вторым, равна 364/365. Таким образом, вероятность того, что у них будет общий день рождения, равна 1 минус (364/365), что составляет примерно 0,27%. 

Если предположить, что группа состоит из трех человек, то первые два человека отмечают две разные даты рождения. Это означает, что вероятность того, что у третьего день рождения не совпадает с двумя другими, равна 363/365. То есть, вероятность того, что у всех троих общий день рождения, равна 1 минус произведение (364/365) на (363/365), или около 0,82%.

парадокс

“Следовательно, чем больше людей в группе, тем больше шансов, что хотя бы у пары человек дни рождения совпадут. Если собрать вместе 23 человека, то вероятность совпадения составит 50,73%, – отметил Фрост. – А при количестве 57 человек вероятность вырастет до 99%”.

Может существовать несколько причин, по которым ответ на проблему дня рождения кажется контринтуитивным. Одна из них заключается в том, что люди исходят из того, что в году 365 дней, поэтому для 50-ти процентной вероятности нужно собрать около 182 человек. 

“Но самое главное, люди значительно недооценивают то, как быстро увеличивается вероятность с ростом количества человек в группе, – говорит Фрост. – Количество возможных пар увеличивается экспоненциально. А люди безнадежны, когда дело доходит до понимания экспоненциального роста”.

Фрост считает, что проблема “парадокса дня рождения” концептуально связано с непониманием человека, что такое экспонента. И в качестве иллюстрации приводит следующий пример:

“Предположим, в обмен на какую-то услугу вам предлагают заплатить 1 цент в первый день, 2 цента во второй день, 4 цента в третий, 8 центов, 16 центов и так далее в течение 30 дней. Хорошая ли это сделка? Большинство людей скажут, что нет, не очень. Но благодаря экспоненциальному росту, на 30-й день у вас будет 10,7 миллиона долларов”.

Читайте также: Почему нас до сих пор озадачивают парадоксы бесконечности?