Почему нас до сих пор озадачивают парадоксы бесконечности?

По крайней мере с 600 года до нашей эры люди были заворожены концепцией бесконечного.

Человек, который знает бесконечность

В рассказе Хорхе Луиса Борхеса “Книга песка” таинственный незнакомец стучится в дверь рассказчика и предлагает ему Библию, которую он нашел в маленькой индийской деревне. На книге видны следы многих рук. Незнакомец говорит, что неграмотный крестьянин, подаривший ему книгу, назвал ее Книгой песка, “потому что ни у песка, ни у этой книги нет ни начала, ни конца”. Открыв книгу, рассказчик обнаруживает, что ее страницы потрепаны и плохо закреплены, а в верхнем углу каждой страницы стоит случайная арабская цифра. Незнакомец предложил рассказчику попытаться найти первую страницу. Но это невозможно.

Как бы он ни перелистывал книгу к началу, несколько страниц всегда оставались между обложкой и его пальцами: “Они словно вырастали из самой книги”. Затем незнакомец просит рассказчика найти конец книги. И снова он терпит неудачу. “Этого не может быть”, – говорит рассказчик. “Не может быть, но это так”, – говорит торговец Библией. “Количество страниц в этой книге буквально бесконечно. Ни одна страница не является первой, ни одна не является последней”. Незнакомец делает паузу и размышляет. “Если пространство бесконечно, то мы находимся в любой точке пространства. Если время бесконечно, то мы находимся в любой точке времени”. (Согласно современному мировоззрению, мы не можем быть в любой точке времени. Жизнь может существовать только в течение относительно короткого периода космической истории).

Мысли о бесконечном завораживали и приводили в замешательство людей на протяжении тысячелетий. Для математиков бесконечность – это интеллектуальная игровая площадка, где бесконечная череда дробей может складываться в единицу. Для астрономов вопрос заключается в том, простирается ли космическое пространство до бесконечности. И если да, как сейчас считают космологи, то это грозит тревожными последствиями. 

Во-первых, где-то там, в космосе, должно существовать бесконечное число копий каждого из нас. Ведь даже ситуация с мизерной вероятностью – например, создание точного расположения атомов конкретного человека – при умножении на бесконечное число испытаний может повторяться бесконечное число раз. Бесконечность, умноженная на любое число (кроме 0), равна бесконечности.

Измерение бесконечности невозможно, или, по крайней мере, невозможно в соответствии с обычными представлениями о размере. Если разрезать бесконечность пополам, каждая половина все равно будет бесконечной. Если усталый путешественник прибывает в полностью заполненный отель бесконечного размера, то нет проблем разместить его. В бесконечном отеле всегда есть место. Вы просто переселяете гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 в номер 3, и так до бесконечности. В процессе вы разместили всех предыдущих гостей и освободили комнату 1 для нового гостя. 

Мы можем играть в игры с бесконечностью, но мы не можем визуализировать бесконечность. Проще представить летающих лошадей, чем бесконечность. Мы видели лошадей и видели птиц, поэтому мы можем мысленно приделать лошади крылья и отправить ее в полет. С бесконечностью дело обстоит иначе. 

бесконечности

Невизуализируемость бесконечности является частью ее мистики

Первая зафиксированная концепция бесконечности, по-видимому, возникла около 600 года до н.э. и приписывается греческому философу Анаксимандру, который использовал слово apeiron, означающее “беспредельный” или “безграничный”. По мнению Анаксимандра, Земля и Небо, а также все материальные вещи были порождены бесконечностью, хотя сама бесконечность не была материальной субстанцией. Другие древнегреческие философы считали бесконечность негативным явлением, даже злом. Поскольку невозможность измерить вещь считалась недостатком этой вещи – за исключением бесконечного и неизмеримого Единого. Примерно в то же время, что и Анаксимандр, китайцы использовали слова wuji, означающее “безграничный”, и wuqiang, означающее “бесконечный”. Они считали, что бесконечное очень близко к небытию. В китайской философской мысли бытие и небытие, как инь и ян, находятся в гармонии друг с другом – отсюда и родство бесконечности и небытия.

Несколько веков спустя Аристотель утверждал, что бесконечности на самом деле не существует. Он допускал то, что называл “потенциальной бесконечностью”, например, целые числа. Для любого числа всегда можно создать большее число, прибавив к нему единицу. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока хватит выносливости и терпения, но вы никогда не достигнете бесконечности. 

Действительно, одно из многих интригующих свойств бесконечности заключается в том, что вы не можете ее достичь. Бесконечность – это не просто нечто, что больше конечного. Она имеет совершенно иную природу, хотя ее части могут казаться конечными, как большие числа или большие объемы пространства. Бесконечность – это вещь в себе. Все, что мы видим и переживаем, имеет пределы, границы, осязаемость. Но не бесконечность. 

По тем же причинам святой Августин, Спиноза и другие богословские мыслители связывали бесконечность с Богом: неограниченная сила Бога, неограниченное знание Бога, безграничность Бога. “Бог есть везде и во всем, поскольку Он безграничен и бесконечен”, – говорил святой Фома Аквинский.

За пределами религиозной сферы нематериального мира физики считают, что и в материальном мире может существовать бесконечное. Но эта вера никогда не может быть доказана. Отсюда невозможно попасть туда. У большинства из нас первые проблески о бесконечности появляются в детстве, когда мы впервые смотрим на ночное небо. Или когда мы уходим в море, не видя суши, и смотрим на водную гладь, простирающуюся все дальше и дальше, пока не упирается в горизонт. Но это лишь проблески, как счет до нескольких тысяч в потенциальной бесконечности Аристотеля. Мы ошеломлены тем, что видим. Но мы даже и близко не приблизились к бесконечности.

Концепция бесконечности и сегодня остается спорной и парадоксальной темой, собирая международные конференции и вызывая горячие научные споры. Могут ли физические силы когда-либо быть бесконечными? Может ли физическое пространство безгранично простираться за пределы видимой нами Вселенной? Существует ли бесконечность между бесконечностью целых чисел и бесконечностью всех чисел? Несколько лет назад, Уильям Хью Вудин, математик из Калифорнийского университета в Беркли, выразился следующим образом: 

“Это похоже на то, что с помощью науки мы построили небольшой домик с прочным фундаментом на крошечном участке пространства. А там, снаружи, есть огромная дикая земля. Это бесконечность”.

Читайте также: Существует ли бесконечность и можем ли мы ее измерить?

1 комментарий к “Почему нас до сих пор озадачивают парадоксы бесконечности?”