Математика фараонов: Папирус Ринда и древнеегипетская математика

Западная цивилизация всегда была очарована цивилизацией, которая выросла вдоль реки Нил около 3000 лет до нашей эры. Греческие интеллектуалы, такие как Фалес, посетили Египет и были впечатлены дизайном и математической точностью формы пирамид. На протяжении тысячелетий Древний Египет считался синонимом мудрости для цивилизаций Средиземноморского бассейна, но особенно для Запада.

Одним из текстов, раскрывающих пример этой мудрости, является папирус Ринда (еще его называют папирус Ахмеса – по имени автора), документ, который кажется обычным учебником по математике. Но многое из того, что ученые знают о египетской математике, пришло именно из этого текста.

Открытие и использование папируса Ринда

Папирус Ринда – это документ, датируемый примерно 1650 годом до нашей эры. Он был найден и приобретен шотландским археологом и антикваром Александром Генри Риндом в 1858 году в одном из городов на Ниле в Египте. В настоящее время текст папируса хранится в Британском музее.

Когда он был впервые исследован учеными, было установлено, что это математический документ. Он был написан писцом по имени Ахмес и состоит из серии практических задач для начинающих писцов.

Математические задачи раскрывают важную информацию о том, как древние египтяне работали с умножением, делением и дробями. 

Исторические предпосылки египетской математики

Древний Египет был одной из первых относительно развитых, централизованных цивилизаций, возникших в древнем Средиземноморье, а возможно, и во всем мире. Она берет свое начало от земледельческих общин, возникших вдоль реки Нил. Большая часть Египта представляет собой пустыню, но Нил обеспечивает длинную узкую полосу пахотных земель.

Нил течет через известняковые холмы в пойму. В конечном итоге, он заканчивается дельтой, которая впадает в Средиземное море. Регулярные наводнения вдоль Нила делают землю вокруг реки особенно плодородной для выращивания сельскохозяйственных культур. Плодородная почва – одна из главных причин того, что Египту было суждено стать центром цивилизации с развитым сельским хозяйством.

Есть много причин, по которым древним египтянам необходимо было изучать математику. Одна из них была связана с сельским хозяйством и временами года. Поскольку египетские земледельцы зависели от регулярного разлива Нила, было полезно знать, когда наступит половодье, чтобы земледельцы могли подготовиться. По этой причине древние египтяне обучались астрономии.

Египетские жрецы со временем заметили, что сезон наводнений предвещает гелиакический восход звезды Сириус. Поэтому египтяне очень внимательно следили за движением Сириуса. А жрецы позже использовали эти расчеты для создания египетского календаря.

фараон, математика
Раздел иероглифического календаря храма Ком Омбо, показывающий переход от месяца XII к месяцу I.

Еще одной причиной, по которой математика была важна для Египта и вообще для древних цивилизаций, было поддержание сложного общества. Древнее египетское правительство должно было вести учет налогов и торговли, и оно полагалось на класс профессиональных писцов.

Эти писцы, помимо обучения чтению и письму, также должны были изучать математику. Большая часть того, что известно о том, как египтяне занимались математикой, содержится в папирусе Ринда и подобных документах.

Египетская математика, как она раскрыта в папирусе Ринда

Древние египтяне, похоже, не думали абстрактно о числах. Например, если бы вы назвали древней египтянке число 7, она, скорее всего, сначала подумала бы о группе из 7 предметов, а не о самом понятии числа 7. Для древних египтян числа были количеством физических объектов, а не абстракциями, которые существовали отдельно от объектов, которые они описывали.

Тем не менее, древние египтяне были очень искусны в использовании арифметики для решения задач в бухгалтерии и инженерии. Египетские цифры, как и римские, тесно связаны с египетской системой письма.

фараон, математика
Египетские цифры, найденные в папирусе Ринда.

Египетские иероглифы, вероятно, возникли из картинок, использовавшихся для обозначения слов или идей. Со временем они превратились в символы, обозначающие звуки слов.

Иероглифы состоят из символов, которые одновременно представляют слова и звуки слов. Иероглифы используются таким образом, чтобы символы, представляющие звуки слов, можно было использовать для написания целых предложений. Иероглифические символы также могут иметь несколько значений. Например, изображение уха может означать как “ухо”, так и “звук”.

По мере усложнения египетского общества возникла необходимость записывать налоговые поступления, торговые сделки, рассчитывать количество материалов, необходимых для строительства и выполнять другие задачи, требующие математических расчетов. В результате иероглифические символы стали обозначать и числовые величины. У египтян была система счисления с основанием 10.

У них был отдельный символ для 1, 10, 100 и т. д. Существовала более блочная система цифр, которая использовалась в надписях на каменных памятниках и в официальных документах. Более удобный, сокращенный набор цифр также использовался писцами при записи на папирусах.

По сравнению с арабскими цифрами, которые сегодня используются в большинстве стран мира для выполнения математических операций, египетская система счисления имеет ограничения в том, какие математические задачи могут быть легко решены с ее помощью. Например, с помощью египетских цифр трудно работать с очень большими числами.

Наибольшее числовое значение, представленное одной египетской цифрой, составляет 1 миллион. Если бы математик хотел записать 1 миллиард с помощью египетских цифр, это было бы очень громоздко и утомительно, поскольку ему пришлось бы писать символ 1 миллиона тысячу раз или изобретать новый символ. Поначалу это может сработать, но что, если потребуется изобразить триллион или квадриллион?

фараон, математика
В египетской математике кратность этих значений выражалась повторением символа столько раз, сколько необходимо.

Вычисление очень больших чисел с помощью египетских цифр нецелесообразно, потому что очень большие числа громоздки для представления, и каждый раз, когда числовые значения становятся слишком большими, чтобы их можно было практически представить с помощью существующих символов, необходимо изобретать новый символ. Таким образом, египетская система счисления менее гибкая, чем арабская, в которой одни и те же десять символов могут быть использованы для представления числа любого размера.

Также было бы трудно заниматься алгеброй, используя египетские цифры. В египетских цифрах отсутствуют специальные символы, например, для обозначения бесконечности или отрицательных чисел. Причина этих ограничений, вероятно, заключается в том, что древнеегипетским писцам не нужно было работать с отрицательными значениями, бесконечностью или очень большими числами.

Египтяне в основном занимались решением математических проблем в торговых сделках, бухгалтерском учете и инженерных проектах, которые не обязательно требуют математики более продвинутой, чем геометрия и арифметика. Древние египтяне могли испытывать трудности при работе с числами, превышающими 1 миллион, но, как правило, им это и не требовалось, поскольку в своей обычной работе они, вероятно, редко сталкивались с такими большими числами. Они были также изобретательны в разработке методов умножения, деления, дробей и других математических операций, включающих только сложение и вычитание, для которых легко использовать египетские цифры.

фараон, математика
Считалось, что отдельные части символа “Глаз Гора” использовались для записи различных дробей.

Как и в других культурах, у древних египтян были свои традиции и методы решения математических задач, которые не всегда соответствуют тем, которые используются сегодня. Сложение и вычитание в египетской математике просты и понятны.

Они просто включают в себя сложение или отнятие цифр с разными числовыми значениями до тех пор, пока не будет достигнуто определенное число. Если писец хотел прибавить 20 к 76, чтобы получилось 96, он просто складывал соответствующие символы.

Египетский подход к умножению и делению предполагает составление таблицы кратных чисел и использование ее для выполнения ряда операций сложения и вычитания. Например, чтобы умножить 15 на 45, составляется таблица с рядом чисел, которые последовательно удваиваются, начиная с 1 в одном столбце.

Последовательное удвоение продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто число 15. Второй столбец состоит из чисел, кратных 45, соответствующих числам в первом столбце. Это показано в таблице ниже.

Поскольку 16 > 15, в столбце 1 нам нужно подняться только до 8. Значения в столбце 2 будут кратными 45, умноженными на соответствующие записи в столбце 1. После составления таблицы числа в столбце 1, сумма которых равна 15, помечаются.

В данном случае 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Поскольку для получения суммы 15 необходимы все записи в столбце 1, суммируются все записи в столбце 2. 45 + 90 + 180 + 360 = 675. Таким образом, 15 умножить на 45 равно 675. Деление – то же самое, но в обратном порядке.

фараон, математика
Египетская математическая задача из папируса Ринда.

Дроби были важны в древнем мире для торговых операций. В Древнем Египте дроби также представлялись иначе, чем сегодня. Например, 2/5 записывалось как 1/3 + 1/15. Кроме того, дроби всегда должны были быть представлены в виде единиц или дробей с числителем 1.

Математика и древнеегипетское мировоззрение

Хотя древние египтяне известны впечатляющими инженерными достижениями и астрономическими вычислениями с использованием математических расчетов, они не внесли много нового в саму область математики. Они не были намного более развиты, чем окружающие их тогда цивилизации, с точки зрения их математических знаний.

Египтяне создавали календари, строили пирамиды и храмы и управляли одной из первых и самых долговечных цивилизаций в истории, используя в основном лишь основы арифметики и геометрии. Практически нет свидетельств того, что они много сделали для создания концепций или идей о математике, которые были неизвестны другим обществам того времени.

Египтяне использовали особые числовые соотношения, такие как золотое сечение. Однако есть подозрения, что древнеегипетские писцы не до конца осознавали его значение.

Древние египтяне просто обнаружили, что эти соотношения полезны при строительстве памятников. Нет никаких доказательств того, что они заботились или признавали теоретические последствия золотого сечения.

фараон, математика
Папирус Ринда, изображающий египетскую математику.

Хотя возможно, что существовали какие-то местные египетские эквиваленты Фалеса и Евклида, но исторические записи свидетельствуют о том, что египетская культура была больше озабочена практическим применением математики, чем ее теоретическими концепциями. Наука и математика были предназначены для практических занятий, таких как проектирование, бухгалтерский учет и составление календарей.

Такое отношение к математике может указывать на важное различие между тем, как древние египтяне и большинство древних культур видели мир, и тем, как некоторые из греческих философов досократовского периода в Средиземноморье начали видеть мир в 6 веке до нашей эры.

Древние египтяне, как и другие древние цивилизации, объясняли мир с помощью мифологии. Мифология отличается от науки тем, что она ищет взаимосвязи и телеологию для объяснения мира.

Мифология не спрашивает о том, как светит Солнце, или из чего оно состоит. Мифология спрашивает, какова конечная цель Солнца и что это значит для человечества и богов.

фараон, математика
Звездная карта Египта Среднего царства.

Научное мировоззрение, с другой стороны, больше интересуется описанием и процессами. Цифры обычно не говорят о том, что побуждает богов посылать дождь, чтобы урожай рос.

Они также не объясняют мотивацию бога солнца, пересекающего небо, чтобы принести свет в мир, но они описывают, как движется солнце и какие атмосферные условия необходимы для дождя. Числа не объясняют смысл и цель, но они описывают процессы и механизмы.

Наука спрашивает: “Что такое Вселенная и как она устроена?”. Мифология спрашивает: “Почему существует Вселенная и что это значит для меня, моей семьи, моего общества, моего народа и моих богов?”.

Причина, по которой некоторые древнегреческие философы так интересовались числами, возможно, отчасти заключалась в том, что они были заинтересованы в описании физического мира и процессов, управляющих им. У них зарождалось научное или протонаучное мировоззрение.

Но у древних египтян было в основном мифологическое мировоззрение. Числа описывали мир, но не ту его часть, которая их больше всего интересовала.

Если адаптировать цитату, приписываемую Галилео Галилею, то древние египтяне были озадачены вопросом: “Как попасть на небеса?”. А досократовские греческие философы, посетившие Египет, уже задавали вопрос: “Как устроены небеса?”.

Прямо или косвенно, древние египтяне оказали значительное влияние на западную и исламскую цивилизацию. Современный мир во многом обязан им и их писцам, которые смогли построить пирамиды и управлять имперской экономикой, имея меньше математических знаний, чем современный ученик средней школы.

Читайте также: Древнеегипетский бетон, а не каменные блоки

Поделиться