Математики импровизируют со знаком “равно” еще с 624 г. до н.э.
В 1912 году философы Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед сделали то, что, по их мнению, никто никогда не делал раньше: они доказали, что 1 + 1 = 2. Им потребовалась целая книга для подготовки доказательства, а также более 80 страниц второго тома. Разумный человек может заключить, что это было легким преувеличением.
Содержание
И все же во всей этой работе есть одна вещь, в которой пара была на удивление небрежна: они так и не определили, что означает знак “равно”. Но зачем бы им это делать? Все знают, что означает «равно»; это же первое, чему учат на уроках математики! За исключением того, что, как и 1 + 1, концепция математического равенства далека от простого или универсального – и это становится большой проблемой.
Что означает знак «равно»?
Не поймите неправильно, но среднестатистический математик понимает знак «равно» почти так же, как и вы – хотя и с добавлением небольшого количества профессионального жаргона. «Смысл x = y [заключается] в том, что x и y – это два имени одного и того же объекта», – писал логик и теоретик чисел Джон Баркли Россер в своем учебнике 1953 года «Логика для математиков».
«Мы не налагаем никаких ограничений на природу объекта, так что у нас будет равенство не только между числами, как это принято в математике, но и между множествами, или между функциями, или даже между именами любых логических объектов». Это расплывчато, но работоспособно. Проблема возникает, когда мы пытаемся объяснить это ученым-компьютерщикам – или, что еще хуже, самим компьютерам.
«Ученые-компьютерщики много лет назад выделили несколько различных концепций равенства и теперь обладают глубоким пониманием этого вопроса», – написал Кевин Баззард, специалист по алгебраической теории чисел и профессор чистой математики Имперского колледжа Лондона, в своей недавней дискуссионной статье, посвященной этой концепции, опубликованной на сервере препринтов arXiv. «Трехсимвольная строка «2 + 2», введенная в систему компьютерной алгебры, не равна, например, односимвольной строке «4», выдаваемой системой; произошла своего рода «обработка». Ученый-компьютерщик может сказать, что, хотя числа 2 + 2 и 4 равны, то термины – нет».
«Математики же, с другой стороны, чрезвычайно хорошо усваивают «обработку»и через некоторое время игнорируют ее», – продолжил Баззард. «На практике мы используем понятие равенства довольно свободно, полагаясь на своего рода глубокую интуицию, а не на логические рамки, в которых, как некоторые из нас считают, мы на самом деле работаем».
Равенство как изоморфизм
Базовая концепция равенства восходит… ну, вероятно, к самой математике – но если вы попросите современного математика копнуть немного глубже в то, что он подразумевает под этим словом, есть большая вероятность, что он попытается объяснить это с помощью того, что называется «изоморфизмами». Происходящее от древнегреческого «равная форма», изоморфизм – это, по сути, просто способ перехода от одной математической структуры к другой того же типа.
Существуют некоторые оговорки – например, он должен быть обратимым и биективным – но в остальном они могут быть на удивление основанными на ощущениях. Не зря же существует старая шутка о том, что математики не могут отличить пончик от кофейной чашки: эти две формы топологически изоморфны и, следовательно, в некотором смысле, являются одним и тем же объектом.
«Изоморфизм – это равенство», – заявил Торстен Альтенкирх, профессор информатики Ноттингемского университета. – А что еще? Если вы не можете различить два изоморфных объекта, то что же это еще может быть? Как еще вы назовете это отношение?».
Другие случаи использования знака «равно» в математике столь же расплывчаты. Статья Баззарда, основанная на докладе, с которым он выступил на конференции по математической логике и философии еще в 2022 году, охватывает некоторые из наиболее вопиющих примеров: например, в «семинарской работе Александра Гротендика, где он и Дьедонн разрабатывают основы современной алгебраической геометрии», – отмечает он, – «слово «канонический» встречается сотни раз и ни разу не дается его определение».
«Конечно, мы точно знаем, что имеет в виду Гротендик», – добавил он. Но «Лин говорил Гротендику, что это равенство просто неверно, и упрямо указывал бы на любое место, где оно использовалось».
Это дихотомия, которая иллюстрирует состояние нашей современной математики. Поскольку все более чистые области находят применение в реальном мире, математики и ученые-компьютерщики все больше полагаются на ИИ и компьютеры в своей работе. Но эти машины не могут полагаться на обращение к интуиции, к которому привыкли люди-математики:
«Как математик, ты так или иначе достаточно хорошо знаешь, что делаешь, что не слишком беспокоишься об этом», – сказал Крис Биркбек, лектор по теории чисел в Университете Восточной Англии. – «Как только у тебя появляется компьютер, проверяющий все, что ты говоришь, ты вообще не можешь говорить расплывчато, ты должен быть очень точным».
Проблема равенства
Итак, что же делать математикам? В конце концов, трудно придумать более фундаментальную проблему, чем отсутствие определения знака «равно» в математических утверждениях. Что ж, есть два потенциальных варианта. Одним из решений может быть пересмотр самой математики, возможно, путем переопределения равенства, чтобы оно было тем же самым (можно сказать, «равным») каноническим изоморфизмам.
Но это может быть просто перекладыванием проблемы на потом, предупредил Баззард:
«математик Гордон Джеймс рассказал мне, что однажды он спросил Джона Конвея, что означает слово канонический, и Конвей ответил, что если вы и человек в соседнем кабинете составите карту из пункта А в пункт Б, и это будет одна и та же карта, то эта карта будет канонической», – написал он. – «Это, может быть, и хорошая шутка, но не очень хорошее определение».
В качестве альтернативы, возможно, потребуется воспитать новый класс математиков, предполагает Баззард – таких, которые смогут «заполнить эти пробелы», которые в настоящее время мешают этой дисциплине. Преимущества такого подхода, по крайней мере, практичны, утверждает он:
«Очень трудно изменить математиков», – сказал он. – «Нужно улучшать компьютерные системы».
В любом случае, похоже, что математику ждет переосмысление – и для тех, кто интересуется передовыми достижениями в области автоматизированных доказательств, чем раньше, тем лучше. Закрепление определения «равно» может показаться простой проблемой, но в конечном итоге это может иметь глубокие последствия для нашего будущего мира – в конце концов, как отметили Рассел и Уайтхед после того знакового доказательства более 100 лет назад, «утверждение, что 1 + 1 = 2, иногда бывает полезным».
Читайте также: Наконец-то мы знаем кое-что о математике, лежащей в основе птичьей стаи
