“Это одна из самых фундаментальных проблем в математике. Раньше она считалась абсолютно недосягаемой.”
Уже несколько месяцев математический мир гудит. Ходят слухи о новом доказательстве, монументальном по объему и практически непостижимом даже для экспертов. Если оно верно, то способно перевернуть весь математический ландшафт.
Сейчас, когда пыль вокруг почти 1000 страниц сложной математики, предложенной командой из девяти математиков, начинает оседать, консенсус, кажется, растет: доказательство верно. Ключевой фрагмент программы Ленглендса – набора идей настолько важных, что их иногда называют “теорией всего” в математике – действительно опровергнут.
Содержание
Что такое программа Ленглендса?
Как и многие основополагающие идеи в математике, концепция, которая сейчас известна как программа Ленглендса, началась с несколько небрежно набросанной записки другу о чем-то, что выглядело многообещающе. При условии, если бы это сработало.
“Уважаемый профессор Вейль”, – писал тогда еще довольно молодой математик Роберт Ленглендс в письме от января 1967 года легендарному математику Андре Вейлю. “Пытаясь четко сформулировать вопрос, который я задавал вам перед выступлением Черна, я пришел к двум более общим вопросам”.
“Я был бы признателен за ваше мнение по этим вопросам”, – продолжил он. “У меня не было возможности серьезно их обдумать, и я бы не стал их задавать, если бы не продолжение неформального разговора”.
Сейчас подобное может показаться самонадеянным – это как если бы ваш школьный учитель физкультуры попросил Леброна Джеймса (американский баскетболист, играющий на позиции лёгкого и тяжёлого форварда) оценить новый вид атакующей игры, о которой физрук недавно думал, – но, как оказалось, письмо математика содержало зародыш чего-то монументального.
То, что сегодня известно как программа Ленглендса, оказалось “собранием далеко идущих и поразительно точных гипотез, связывающих теорию чисел, автоморфные формы и теорию представлений”, – писал в 1988 году математик Билл Кассельман, ныне почетный профессор Университета Британской Колумбии. “Они сформировали ядро программы, которая все еще выполняется, и стали играть центральную роль во всех трех областях”.
Итак, что делает ее такой важной? Что ж, начнем с простого примера: сможете ли вы решить следующую математическую задачу?
(X – VII) × III = ?
Это не особо сложная задача, но шансы, что вы сможете решить ее напрямую, крайне малы. Скорее всего, вы сделали это в три этапа: во-первых, вы перевели ее на язык, в котором вы более уверены, а именно на арабские цифры; во-вторых, вы фактически решили ее; и в-третьих, вы перевели ее обратно в исходную запись, чтобы получить, надеюсь, ответ IX.
Увеличьте масштаб этого процесса на несколько порядков, и вы получите общее представление о программе Ленглендса. Это “теория всего” в математике”, – писала преподаватель математики Джуди Мендаглио в 2018 году, сразу после того, как Ленглендс был удостоен престижной Абелевской премии в знак признания его работы. “[Это] набор гипотез, которые стремятся объединить знания из разных областей математики”.
“Идея заключается в том, что задачу в одной области математики может быть очень трудно проанализировать с помощью инструментов, доступных в этой области”, – объяснила Мендаглио. “Однако, если структуры внутри задачи можно связать с аналогичными структурами в другой области, где есть лучшие аналитические инструменты, то анализ может быть проведен с меньшими трудностями, а результаты связаны с исходной задачей. Таким образом, выявляются даже более глубокие структуры в исходной области математики”.
Итак, что нового?
По сути, “программа Ленглендса” представляет собой набор тесно связанных гипотез в различных областях математики. “Это настолько обширная тема, что мало кто может действительно охватить ее целиком”, – писал физик-теоретик Эдвард Виттен в 2007 году. “Несмотря на всю тяжелую работу, я лично понимаю лишь крошечную часть программы Ленглендса”.
“Самый глубокий ее аспект, насколько нам известно, связан с теорией чисел, откуда Ленглендс начал почти сорок лет назад”, – отметил он. “Однако программа Ленглендса имеет всевозможные проявления”.
И одной из основных ветвей, особенно в последние пару десятилетий, стала “геометрическая” форма программы Ленглендса – часть проблемы, в которой “некоторые идеи преобразованы из теории чисел в геометрические утверждения”, – объяснил Виттен. Традиционно это был один из наиболее плодотворных путей атаки, но все же дьявольски сложный. Поэтому, когда в этом году появились заявления не просто о прорыве, а о полном доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса, это определенно привлекло внимание людей.
“Впервые у нас есть действительно полное понимание одного из пазлов программы Ленглендса, и это вдохновляет”, – сказал Дэвид Бен-Цви, профессор математики Техасского университета в Остине, в интервью New Scientist. “Это вселяет уверенность в том, что мы понимаем, в чем заключаются ее основные проблемы”.
“Появляется множество тонкостей, нюансов и сложностей”, – сказал он, “и это первое место, где они все были систематически разрешены”.
Это, безусловно, немалое достижение – в любом смысле этого слова. Доказательство, занимающее пять работ объемом более 900 страниц, – это “действительно огромный объем работы”, – сказал Эдвард Френкель, профессор математики Калифорнийского университета в Беркли. На самом деле, оно настолько сложное, что даже другие математики находят его несколько ошеломляющим, хотя многие, тем не менее, уверены, что оно выдерживает критику.
“Это прекрасная математика, лучшая в своем роде”, – сказал Александр Бейлинсон, одна из главных фигур, стоящих за формулировкой геометрической программы Ленглендса, в интервью журналу Quanta Magazine ранее в этом году.
Что это значит?
Итак, это большая новость в математическом сообществе, но почему среднестатистический человек должен беспокоиться об этом? Что ж, как и следовало ожидать от чего-то, что вскользь называют “теорией всего”, этот результат может повлиять на гораздо большее, чем просто абстрактная математика.
“Дело не только в том, что они пошли и доказали это”, – сказал Бен-Цви. “Они разработали целые миры вокруг этого […] Это просочится через все барьеры между субъектами”.
Например, уже давно известно, что геометрическая программа Ленглендса имеет тесную связь с квантовой физикой и физикой конденсированного состояния, и немногие математики, которые пока понимают доказательство, считают, что оно, вероятно, привлечет внимание в этой области довольно скоро.
Еще более фундаментальными, однако, являются потенциальные последствия для двух других направлений программы – тех, которые сосредоточены на теории чисел и функциональных полях.
“Это похоже (по крайней мере, для меня) на то, что […] откололся один кусок большого камня”, – сказал Деннис Гейтсгори, исследователь Института Макса Планка и один из девяти человек, стоящих за новым мега-доказательством,. “Но мы все еще далеки от ядра”.
Далеки они не из-за отсутствия попыток. Вместе с соавтором Сэмом Раскиным, профессором математики Йельского университета, Гейтсгори уже добился некоторого прогресса в переводе доказательства в область программы, связанной с функциональными полями.
И они не одиноки: “Я определенно один из тех, кто сейчас пытается перевести все эти геометрические штуки Ленглендса”, – сказал Питер Шольце, теоретик чисел из Института Макса Планка, который не участвовал в доказательстве, хотя он “в настоящее время отстает на несколько работ, пытаясь прочитать то, что они сделали еще примерно в 2010 году”.
Для других же настоящая награда – это само доказательство и то, что оно раскрывает о природе математики.
“Многие из вещей, которые входят в геометрическую программу Ленглендса, были теми вещами, на которых я сосредоточился, будучи студентом”, – сказал Раскин. “Это оказало большое влияние на мои математические вкусы. Это набор вопросов, которые я всегда находил интересными и полезными для работы”.
“Иногда у меня бывает такой опыт с математикой, когда кажется странным, сколько всего еще предстоит открыть и чем заниматься”, – добавил он. “Не похоже, что есть причина, по которой математика должна быть настолько сложной и интересной, какой она есть. Это не просто случайный зоопарк вещей. Вы получаете интуицию, думая о математических объектах, даже если вы не всегда можете к ним приблизиться”.
Читайте также: Является ли математика изобретением человека, или она может быть языком Вселенной?
Комментировать можно ниже в разделе “Добавить комментарий”.