Как-то ученик спросил у учителя:
– Учитель, сколько будет бесконечность плюс бесконечность?
– Бесконечность, – ответил учитель.
– Но как может число плюс такое же число быть самим собой?- настаивал ученик. – Я думал, что это может делать только ноль, как в 0 + 0 = 0″.
– Ну, – сказал учитель, – бесконечность – это не совсем число. Это скорее идея.
– Значит, бесконечность плюс один – это тоже бесконечность?
– Да.
– Странно.
– Ага.
Содержание
Математические бесконечности
Прежде чем исследовать бесконечность в природе, немного прелюдии о бесконечности в математике.
Математики часто говорят о счетных и несчетных бесконечностях. (Да, существуют различные виды бесконечности.) Например, множество всех целых чисел (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) является счетным бесконечным множеством. Другим примером является множество рациональных чисел – чисел вида p/q, построенных из дробей целых чисел, таких как 1/2, 3/4 и 7/8, и исключающих деление на ноль.
Количество объектов в каждом из этих множеств (также известное как кардинал множества) называется алеф-0. Алеф – это первая буква еврейского алфавита, и она имеет каббалистическое толкование соединения неба и земли: ℵ. Алеф-0 бесконечен, но это не самое большое из возможных бесконечных чисел. Множество действительных чисел, которое включает в себя множество рациональных и иррациональных чисел (те числа, которые не могут быть представлены в виде дробей целых чисел, включая √2, π, e и так далее), имеет кардинал алеф-1. Алеф-1 известен как континуум. Он больше, чем алеф-0, и может быть получен путем умножения алеф-0 на самого себя алеф-0 раз: 1=00.
Георг Кантор, немецкий математик, который изобрел теорию множеств, описал гипотезу континуума, которая утверждает, что не существует множества с кардиналом между алеф-0 и алеф-1. Однако современные результаты свидетельствуют о том, что гипотеза континуума вообще не имеет решения – она ни доказуема, ни недоказуема. Если вы смогли прочесть все это, то наверняка понимаете почему человеческий разум путается в представлениях о различных бесконечностях, даже в рамках формальной строгости абстрактной математики.
Какова форма Вселенной?
А что насчет пространства? Бесконечно ли оно? Простирается ли Вселенная в бесконечность во всех направлениях, или она загибается назад, как поверхность воздушного шара? Можем ли мы когда-нибудь узнать форму пространства?
Тот факт, что мы получаем информацию только о том, что находится в пределах нашего космического горизонта, который определяется расстоянием, пройденным светом с момента Большого взрыва, серьезно ограничивает наши возможности узнать о том, что находится за его пределами. Когда космологи говорят, что Вселенная плоская, они действительно имеют в виду, что та часть Вселенной, которую мы измеряем, плоская. Ну, или почти плоская в пределах точности данных. И мы не можем, исходя из плоскостности нашего участка, делать какие-либо убедительные заявления о том, что находится за космическим горизонтом.
Если Вселенная имеет шарообразную форму, можем ли мы определить это, находясь в пределах плоского космического горизонта? Если это так и наша Вселенная имеет форму трехмерной сферы, то нам может не повезти. Судя по современным данным, кривизна сферы настолько мала (что говорит о том, насколько она гигантская), что ее трудно измерить.
Интересная, но чисто умозрительная возможность заключается в том, что Вселенная имеет сложную форму – то, что геометры называют нетривиальной топологией. Топология – это раздел геометрии, изучающий, как пространства могут непрерывно деформироваться друг в друга. Непрерывно – значит без разрывов, как при растяжении и сгибании резинового листа. (Например, шар без отверстий можно деформировать в эллипсоид, куб или грушу. Но его нельзя деформировать в бублик, потому что у бублика одна дырка.
Измерение вселенских сигнатур
Различные космические топологии могут оставлять сигнатуры на объектах, которые мы можем измерить. Например, если топология не является односвязной (вспомните наш бублик, который имеет дырку в своей форме), то свет от удаленных объектов может создавать узоры в микроволновом фоне. В качестве конкретного примера – если Вселенная имеет форму бублика, а ее радиус мал по сравнению с горизонтом, свет от далеких галактик может успеть обернуться несколько раз, создавая множество одинаковых изображений, как отражения в параллельных зеркалах. В принципе, мы могли бы увидеть такие призрачные зеркальные изображения или узоры, и они могли бы дать информацию об изогнутой форме пространства. Надо сказать, что до сих пор мы не нашли такого индикатора.
Ну, а поскольку мы не видим одинаковых изображений, можем ли мы сделать вывод, что пространство плоское? Увы. Мы никогда ничего не можем измерить с абсолютной точностью, поэтому мы никогда не можем быть уверены. Даже если текущие данные убедительно указывают на нулевую пространственную кривизну в пределах нашего космического горизонта.
В отсутствие обнаруженной кривизны, вопрос о форме пространства, таким образом, на практике остается без ответа. Является ли это чем-то непознаваемым? Похоже, что да. Чтобы мы узнали ответ, должно произойти нечто весьма радикальное. Например, теория, способная вычислить форму пространства из первых принципов. Пока что у нас нет такой теории. Даже если когда-нибудь такая теория появится, нам нужно будет ее подтвердить. А это ставит перед нами все те проблемы, которые мы недавно перечислили.
Вывод может быть разочаровывающим, но он и неординарен. Вселенная может быть пространственно-бесконечной, но мы не можем этого знать. Бесконечность остается скорее идеей, чем нечто существующее в физической реальности.
Читайте также: Что лежит за пределами наблюдаемой Вселенной?