Обоснование иррациональности.
Мало найдется числовых последовательностей столь же знаменитых, как та, что названа в честь итальянского математика Леонардо Фибоначчи. И на то есть веская причина: этот набор чисел, получаемый по относительно простому правилу, кажется, затрагивает практически все аспекты жизни – не только в математике, но и в окружающем нас природном мире.
И это кажется странным, не так ли? Почему именно эта конкретная последовательность чисел, управляемая регулярной бинарной операцией, должна появляться повсюду в природе?
Ответ умнее, чем вы могли бы подумать.
Содержание
Что такое последовательность Фибоначчи?
Если имя “Фибоначчи” вам ни о чем не говорит, просто вспомните первую “хитрую” числовую последовательность, которую вы когда-либо видели на уроке математики. Она выглядит так:
Если вы не совсем понимаете, в чем тут правило, вот оно: каждое новое число – это просто сумма двух предыдущих. Примерно так она и была впервые открыта средневековыми индийскими учеными, пытавшимися определить идеальные ритмы для поэзии.
Однако на Западе потребовалось еще несколько веков, чтобы эта последовательность появилась – и когда это произошло, это было не результатом простого сложения. На самом деле, это больше касалось умножения.
“Изначальная проблема, которую исследовал Фибоначчи (в 1202 году), касалась того, как быстро могли бы размножаться кролики в идеальных условиях,” объясняет доктор Рон Нотт, популяризатор математики и бывший преподаватель кафедр математики и компьютерных наук в Университете Суррея, Великобритания.
“Предположим, что в поле помещена новорожденная пара кроликов, самец и самка,” рассказывает он. “Загадка, которую поставил Фибоначчи, была… сколько пар будет через год?”
Теперь, для того чтобы это сработало, нужно сделать несколько допущений, поэтому объясняющие эту проблему обычно указывают, что это “идеализированный” – то есть биологически нереалистичный – сценарий. Во-первых, игнорируйте тот факт, что кролики могут умирать – для целей этого упражнения они не умирают. Затем мы должны предположить, что кролики не только способны иметь потомство в возрасте одного месяца, но и обязательно будут его иметь. Ах да, и забудьте всё, что вы знаете об инбридинге.
Затем, объясняет Нотт, “в конце первого месяца они спариваются, но все еще остается только одна пара.”
“В конце второго месяца самка производит новую пару, так что теперь в поле две пары кроликов,” продолжает он. “В конце третьего месяца первоначальная самка производит вторую пару, что в итоге дает три пары в поле.”
“В конце четвертого месяца первоначальная самка произвела еще одну новую пару, самка, родившаяся два месяца назад, также производит свою первую пару, что дает пять пар.”
Это продолжается таким образом до конца двенадцатого месяца, к этому моменту будет 144 кролика, счастливо прыгающих вокруг – или, скорее, 72 счастливо прыгающих, и 72, которые сильно беременны и, вероятно, довольно устали. И последовательность ежемесячных итогов, которая привела нас к этому, будет выглядеть так:
Знакомо выглядит?
Мера иррациональности
Таким образом, с самого начала последовательность Фибоначчи была неразрывно связана с природным миром. Но она встречается в гораздо большем количестве мест, чем просто популяции кроликов: вы можете увидеть эту последовательность в количестве лепестков цветов и чешуек шишек; в ветвях деревьев и завитках соцветий цветной капусты; от самой маленькой раковины улитки до величественных спиральных галактик.
Вопрос в том: почему? Почему именно эта конкретная последовательность чисел – не самая простая, которую можно придумать, но и не слишком сложная – должна быть так важна для природного мира?
Большая часть ответа объясняется областью математики, известной как диофантовы приближения. Говоря максимально просто, это изучение того, насколько иррациональными могут быть числа, и некоторые из ее выводов могут вас удивить.
Рассмотрим, например, “самое иррациональное число”. Вероятно, если бы вас спросили, какое число более иррациональное, чем любое другое, вы бы либо подумали, что это уловка, и вопрос бессмысленный, либо выбрали бы что-то вроде числа пи – не только иррациональное, но и трансцендентное, и предмет, казалось бы, бесконечного интереса для специалистов по информатике и математиков.
Но на самом деле самое иррациональное число – это нечто гораздо более скромное: это φ – произносится “фи”, и записывается численно так:
Теперь, справедливо сказать, что это число не выглядит сразу таким уж уникальным или интересным – так что же выделяет его как “самое иррациональное”? Ну, ответ сводится к тому, насколько близко мы можем подойти к нему, используя рациональные приближения – что, к слову, “не очень близко”.
Для объяснения давайте немного рассмотрим π. Возможно, вас когда-то учили, что оно примерно равно 22/7, и это правда: математики называют это вторым сходящимся приближением числа, и оно только на 0,04 процента выше истинного значения пи. Третье приближение, 333/106, отличается менее чем на 0,003 процента, а четвертое, 355/113, всего на 0,00008 процента выше истинного значения пи.
Хотя никакая дробь из целых чисел никогда не сможет точно описать пи, мы определенно видим, что некоторые комбинации могут приблизиться к нему очень близко. Но то же самое неверно для фи – вместо этого, как бы далеко вниз по списку сходящихся приближений вы ни шли, всегда будет предел того, насколько близко вы можете подойти к истинному значению числа по сравнению с количеством затраченных усилий.
Но вот где становится интересно. Сходящиеся приближения фи известны как “золотое сечение” – давайте посмотрим, узнаете ли вы их:
Природа математики
Теперь вы, возможно, вполне обоснованно думаете на этом этапе, что природа ничего не знает о продвинутой теории чисел, и все это, конечно же, должно быть совпадением. Но мы обещаем, это не так: “Фибоначчи-подобные узоры и соотношения, найденные во многих биологических организмах, включая растения, действительно связаны с последовательностью Фибоначчи,” подтвердил астрофизик и популяризатор науки Итан Сигел в статье в начале этого года, “как в математически строгом смысле, так и по эволюционной причине, которая имеет совершенный смысл.”
Например, подумайте о листьях на растении. Энергия растения приходит от Солнца, поэтому его цель при росте – максимизировать воздействие солнечного света на его листья. Очевидный способ сделать это – убедиться, что новые листья растут немного в стороне от предыдущего на стебле – но насколько далеко они должны обходить стебель?
“Если бы [листья] поворачивались на 180°, то каждый второй лист блокировал бы солнечный свет для нижнего листа,” объясняет Сигел. “Если бы они поворачивались на 360°/3 = 120°, то каждый третий лист блокировал бы солнечный свет для нижнего листа, а если бы они поворачивались на 360°/4 = 90°, то каждый четвертый лист блокировал бы солнечный свет для нижнего листа.”
Идеальный угол, продолжает он, был бы таким, который максимизирует количество света, достигающего каждого листа – и это означает, что он должен быть иррациональным числом, умноженным на 360°. Это гарантирует, что ни один лист никогда не будет точно над другим.
“Но не любое иррациональное число подойдет,” предупреждает Сигел. “Если вы выберете число, которое слишком близко к рациональному числу… вы получите ситуацию, очень похожую на ту, где листья выстраиваются друг над другом.”
Итак, какое иррациональное число самое “иррациональное”? Ну, мы уже знаем ответ на этот вопрос: это φ – золотое сечение. И угол поворота, который дает золотое сечение – так называемый “золотой угол” – составляет примерно 137,5°.
“Это угол, который вы видите в расположении семян в подсолнухе, чешуек в сосновых шишках и ананасах, и в спиральных галактиках,” отмечает Сигел. “Это не потому, что природа каким-то образом ‘знает’ об этом числе, а потому, что эволюционное давление благоприятствует наиболее эффективному использованию ресурсов.”
Другими словами, существование последовательности Фибоначчи в природе – это не какая-то мистическая сила, управляющая Вселенной. Это просто результат того, что природа – как и мы – пытается решить проблему: как получить максимальную отдачу при минимальных затратах.
“Природа следует пути наименьшего сопротивления,” заключает Сигел, “и в этом случае… путь наименьшего сопротивления приводит к золотому углу.”
Читайте также: Скрытый оттенок: почему древние цивилизации не видели синий цвет?
