Это «теоретическая математика, которая могла быть создана десятилетия назад», — но у неё огромные перспективы на будущее.
В III веке до нашей эры умный грек по имени Эратосфен придумал новый математический инструмент — «решето», с помощью которого можно было кропотливо просеивать все целые числа по порядку и отбрасывать те, у которых было больше двух делителей, оставляя только простые.
Для своего времени это было гениально, но, объективно говоря, стоит признать, что метод довольно прост. Не в обиду Эратосфену, но, вероятно, именно такой способ использовал бы и школьник для поиска и перечисления простых чисел. Но вот в чём дело: спустя более двух тысячелетий это по-прежнему один из лучших методов для решения этой задачи.
Это свидетельство того, насколько необычны и неуловимы простые числа. Поиск какого-либо смысла или закономерности в этих числах на протяжении веков был для математики «белым китом»: возникая, казалось бы, случайным образом на числовой прямой, они ускользают от прогнозов и классификации, создавая естественное препятствие на пути решения множества открытых проблем.
По крайней мере, так было до недавнего времени. В прошлом году трио математиков обнаружило нечто похожее на порядок в мире простых чисел, и пришло это открытие из совершенно неожиданной области.
«Эта работа связывает две фундаментальные области теории чисел: простые числа и разбиения», — говорится в недавнем заявлении Кена Оно, профессора математики имени Марвина Розенблюма в Университете Вирджинии и одного из авторов нового открытия.
«Хотя простые числа изучаются веками, многие их основные свойства остаются загадкой, — сказал он. — То, что мы доказали, даёт бесконечно много новых способов находить простые числа, не прибегая к проверке на делимость — одной из причин, по которой их так трудно обнаружить».
Это громкая новость — настолько, что Оно стал одним из финалистов премии Коццарелли 2025 года в области физических наук, которой отмечают команды, «чьи статьи в журнале PNAS внесли выдающийся вклад в свою область». Поэтому нам стоит спросить: а в чём, собственно, дело?
Генетика математики
Простые числа, то есть числа, которые делятся только на единицу и на самих себя, — это одна из тех вещей, которые гораздо важнее, чем кажутся.
При первом знакомстве они выглядят своего рода курьёзом — упоминанием в духе «ах, да, есть ещё и такое», когда вы изучаете деление и разложение на множители. Они — изгои числовой прямой, те, у которых нет настоящих множителей и которые, кажется, существуют лишь для того, чтобы усложнять деление в столбик.
Однако на самом деле простые числа подобны атомам в математике. Они — фундаментальные строительные блоки всех остальных чисел, несмотря на свою непредсказуемость. А это, в свою очередь, делает их чрезвычайно ценными в современном мире. «Одним из наиболее широко используемых применений простых чисел в вычислениях является система шифрования RSA», — писал в статье для The Conversation в 2018 году Иттай Вайс, в то время преподаватель кафедры математики Портсмутского университета. «Эта система […] обеспечивает безопасную передачу информации — такой как номера кредитных карт — в интернете».
«Большие простые числа также широко используются и в других криптосистемах», — добавил Вайс, который не участвовал в новом исследовании.
Но основная идея всех этих систем одна и та же: она основана на том, что поиск простых чисел — очень сложная задача. После всех этих лет, чтобы найти какое-то новое понимание, требовался бы поистине новаторский взгляд — то, чего никто раньше не пробовал.
К счастью, именно это и было у Оно и его коллег.
Разбивая проблему на части
Давайте ненадолго оставим простые числа и перенесёмся в область, более близкую к комбинаторике, чем к сердцу теории чисел. Здесь существует другой — и, по крайней мере, визуально, более буквальный — вид «строительных блоков» чисел, и именно они составляют вторую часть этого прорыва.
Разбиения целых чисел, возможно, даже в большей степени, чем простые числа, выглядят обманчиво просто. По сути, это всего лишь способ представления целых чисел в виде суммы. Например, разбиениями числа 4 будут 3+1, 2+2, 2+1+1 и 1+1+1+1 (по соглашению, слагаемые в разбиении обычно записывают в порядке убывания).
Вы можете задаться вопросом, какие применения могут быть у такого элементарного объекта. Ответ: очень много, особенно если вы интересуетесь теорией чисел, геометрией или интегрируемостью в целом. Это связано с тем, что разбиения имеют естественную связь с типом уравнений, известных как диофантовы уравнения — уравнениями вроде теоремы Пифагора или уравнения Маркова, для которых существует множество, если не бесконечное число, наборов рациональных решений.
Эта связь была известна давно. Однако только сейчас Оно и его команда заметили нечто невероятное: «простые числа […] являются решениями бесконечного множества особых „диофантовых уравнений“ в хорошо изученных функциях разбиения», — объясняют они в своей новой статье.
«Другими словами, разбиения целых чисел обнаруживают простые числа бесконечным числом естественных способов».
Совершенно новый мир
Связь между этими двумя давно существующими областями математики просто поразительна. «Удивительно, что такой классический комбинаторный объект, как функция разбиения, может быть использован для обнаружения простых чисел таким новым способом», — рассказала на этой неделе Scientific American Кэтрин Брингманн, математик из Кёльнского университета, не принимавшая участия в исследовании.
Неожиданным оказался не только результат. Каждая деталь этого прорыва кажется невероятной: на него, как отмечает Оно, вдохновил вопрос студента; он связывает две области, которые казались не связанными; он даже не опирается на какую-либо новую математику. «Как бы я ни был взволнован, [это] представляет собой теоретическую математику, которая могла быть создана десятилетия назад, — сказал Оно. — Если бы существовала машина времени, я мог бы вернуться в 1950 год, объяснить, что мы сделали, и это вызвало бы такой же уровень восторга […], и эксперты того времени поняли бы нас».
Но самое невероятное — это работает. «Мы с абсолютной точностью определяем все простые числа, — сказал Оно в интервью Scientific American. — Это почти как если бы наша работа давала бесконечно много новых определений простого числа. […] Это просто поражает воображение».
С новым подходом к простым числам невозможно предсказать, какая проблема падёт следующей. Хотя решение таких давних головоломок, как гипотеза Гольдбаха, вероятно, является чрезмерно сложной задачей, некоторые математики видят в этом новом прорыве потенциальный указатель на пути к решению других математических проблем. «Такого рода результаты часто стимулируют свежее мышление в смежных областях, — сказала Брингманн. — Например, существуют ли обобщения главного результата на другие последовательности, такие как составные числа или значения арифметических функций?»
Что касается наших транзакций по кредитным картам в интернете — нет причин беспокоиться о немедленном крахе безопасности. Несмотря на всю важность простых чисел для криптобезопасности — а они важны, — потребуется нечто большее, чем новообретённая связь, чтобы разрушить мир, каким мы его знаем, говорит Оно.
«Хорошая новость в том, что мир по-прежнему будет в безопасности, — подтвердил он. — Но понимание простых чисел остаётся ключевой областью исследований, особенно в эпоху квантовых вычислений».
«Конечно, если кто-то успешно создаст эффективный квантовый компьютер, это перевернёт то, как простые числа используются в криптографии, — добавил он. — Это то, к чему математическое сообщество готовится».
Статья опубликована в журнале PNAS.
Читайте также: Математика – царица науки? Мнение физика
Комментировать можно ниже в разделе “Добавить комментарий”.