Математика - царица науки? Мнение физика

Физик Дон Линкольн объясняет, почему математика — это мощный инструмент для научного моделирования, но сама по себе наукой не является.

Социальные сети могут быть местом для язвительных комментариев, где люди вовлечены в бесконечную игру превосходства. К сожалению, такое поведение можно наблюдать и среди любителей науки, когда они спорят о том, какая дисциплина является более фундаментальной.

В таких спорах люди часто придерживаются редукционистского взгляда, утверждая, что социология — это всего лишь прикладная психология, психология вытекает из биологии, биология возникает из химии, а химия, конечно же, является прикладной физикой. Как физик, я могу поддержать такой образ мыслей. На мой взгляд, физика — это царица наук.

Однако существует школа мысли, которая идет еще дальше и утверждает, что вся наука — это просто рекурсивное применение прикладной математики. Если физика — царица наук, то математика — императрица. В комиксе xkcd этот спор изображен с юмором, и некоторые известные физики высказывали схожие идеи.

Например, в 1960 году физик Юджин Вигнер опубликовал статью под названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Хотя его позиция часто преувеличивается в онлайн-дискуссиях, он обращает внимание на удивительные параллели между математикой и физикой, восхищаясь тем, насколько хорошо математика работает.

Физик Макс Тегмарк выдвинул гипотезу, что реальность не просто параллельна математике; скорее, реальность и есть математика, а все математические структуры представляют собой различные реальности. В его предложении разные математические системы описывают реальные вселенные, встроенные в более крупную мультивселенную. Эта идея спорна — не зря некоторые в теоретическом сообществе называют Тегмарка «Безумным Максом» — но, безусловно, есть те, кто утверждает, что математика первична по отношению к физике.

Нельзя отрицать и ценность, которую математика приносит профессиональным физикам. Огромная часть моих студенческих лет была посвящена изучению математических навыков и их применению к теориям, необходимым для решения конкретных исследовательских задач. Действительно, одно из представлений уравнения, описывающего все известные субатомные явления, занимает целую страницу. И это только чтобы записать уравнение, не говоря уже о том, чтобы что-то с ним сделать. Учитывая центральную роль математики в современной физике, вполне понятно, что некоторые считают, что эта центральность подразумевает первичность. Хотя эти люди могут уважать все науки, для них математика — primus inter pares (первая среди равных).

У меня другой взгляд на этот вопрос. Я бы сказал, что те, кто спорит о статусе науки и математики, не понимают ни того, ни другого.

Наука — это изучение природного мира. Физика — особенно фундаментальная физика, которая является моей специализацией — это изучение самых глубоких законов природы. Когда мы говорим высокопарно, мои коллеги могут сказать, что мы исследуем основы физической реальности, погружаясь в законы материи и энергии, пространства и времени.

Физики элементарных частиц и космологи ищут связи между известными поведениями материи и энергии, надеясь показать, что явления, которые кажутся совершенно разными, на самом деле являются разными проявлениями одного и того же. Один из примеров — как физик Джеймс Клерк Максвелл показал, что электричество и магнетизм — это два способа, которыми комбинированное явление, называемое электромагнетизмом, влияет на мир.

В отличие от этого, по крайней мере внутренне, математика не имеет абсолютно никакого отношения к физической реальности. Скорее, математику можно назвать подмножеством логики. Позволяя себе некоторые вольности, которые могут оскорбить профессиональных философов, математику можно в широком смысле рассматривать как логику чисел и количеств.

Когда я говорю «математика», я не имею в виду арифметику, геометрию или математический анализ. Это примеры математических дисциплин, но я имею в виду более абстрактное понятие. Я говорю об интеллектуальных конструкциях, в которых выбирается набор объектов (обычно чисел) и список правил, которые ими управляют, а затем с помощью логики выводятся следствия из этих выборов. Добавьте символический язык, и вы получите форму математики.

Например, базовую арифметику можно охарактеризовать как правила, управляющие целыми числами, в сочетании с операциями сложения и вычитания. Математика определяет, что произойдет, если взять этот набор чисел и применить эти операции. Сложите или вычтите два целых числа, и вы получите другое целое число. Добавьте ноль к числу, и вы получите то же число. Форма математики, которая охватывает такие вещи, называется «теорией групп».

Если вам нужно представить объекты, которые не являются целыми единицами — скажем, половину пирога — эта примитивная форма математики не подойдет. Вам нужно добавить умножение и деление. Когда вы это сделаете, вы изобретете дополнительные числа, а именно дроби.

Можно пойти дальше и добавить другие числа, чтобы составить действительные числа (которые включают все мыслимые числа от минус бесконечности до плюс бесконечности). Вы можете представить дополнительные операции и правила, управляющие все более расширяющимся списком чисел.

Операции и математические правила не обязательно должны быть привычными. В обычной математике, если вы сложите 11 и 4, вы получите 15. Однако существует форма математики — в просторечии называемая «математикой часов» — в которой 11 + 4 = 3. Вы, несомненно, использовали эту форму математической логики, не осознавая этого. Если сейчас 11 часов, и что-то произойдет через четыре часа, это случится в 3 часа. Это допустимая математическая логика; просто она не управляет обычным способом счета.

Так как же эти определения науки и математики сочетаются? В конце концов, нельзя отрицать, что математика глубоко встроена в мир современной науки. Это начинается с нескольких более глубоких мыслей.

Природный мир таков, какой он есть. Он независим от человечества и управляется правилами, возникающими из коренных причин, которые нам пока неизвестны. Вода падает, когда идет дождь. Звезды движутся по небу в ясную ночь. Галактика медленно вращается на протяжении эонов. Законы Вселенной таковы, каковы они есть, и мы мало что можем с этим поделать.

Наука — это попытка понять эти поведения. Мы предлагаем модели, которые имеют предположения. Мы тщательно выбираем подмножество математической логики, которое лучше всего представляет предположения, заложенные в нашей модели, и затем используем его для выполнения расчетов. Эти расчеты — не физический мир. Это манипуляции с моделями, использующие логику применяемой математики.

Не вся математика подходит для всех научных моделей. Например, если мы пытаемся понять поведение воды, мы обычно думаем о ней как о чем-то, что можно разделить на все меньшие количества. Для такой парадигмы мы выбираем непрерывную математику школьной алгебры и вводного курса математического анализа.

Однако, когда мы переходим к достаточно малым масштабам, мы сталкиваемся с отдельными молекулами воды, которые нельзя разделить пополам и при этом они останутся водой. Здесь непрерывная математика — не лучший выбор; вместо этого следует использовать логику дискретной математики. Если мы не изменим используемый математический формализм, мы получим прогнозы, которые не согласуются с поведением природного мира.

Моя позиция заключается в том, что, во-первых, математика — это упражнение в чистой логике. Это не человеческая конструкция. Во-вторых, Вселенная управляется теми правилами, которые ей управляют, и они также не являются человеческими конструкциями.

Современная наука создает модели, основанные на предположениях, и использует любое подмножество математической логики, которое, кажется, параллельно правилам, управляющим природой. Это человеческая конструкция, и притом мощная. Если модель подтверждается сравнением ее прогнозов с измерениями, то мы надеемся использовать эту модель и математическую логику для предсказания явлений, которые еще не были проверены. Если это происходит, у нас есть надежда, что наша догадка о модели является разумным представлением реальности.

Хорошим примером является общая теория относительности Альберта Эйнштейна. Опубликованная в 1915 году, она была быстро подтверждена точным предсказанием движения орбиты Меркурия и искажения видимого положения звезд во время солнечного затмения. Теория также предсказала черные дыры и гравитационные волны — две идеи, которые потребовали почти столетия для подтверждения. Математика позволила исследователям проводить количественные исследования последствий теоретической модели и математической логики, управляющей ею.

Но математика — это не наука. Математика — это самостоятельная область, и она существовала бы без науки. С точки зрения ученого, математика — это мощный инструмент, который можно использовать для создания серии теорий, которые все точнее моделируют реальность. Если бы оказалось, что последствия каждой модели легче определить с помощью интерпретационного танца, ученые бросили бы математику и надели бы танцевальные туфли.

Нельзя отрицать блеск поколений математиков, которые наслаждаются игрой с числами и глубоко погружаются в последствия предположений каждой формы математики. Я снимаю шляпу перед теми, кто выполняет всю эту тяжелую работу. Действительно, в молодости я был одним из них, получив степень по математике.

Но по мере развития моей карьеры стало ясно, что я не математик. Я ученый. Понимание законов природы притягивает меня гораздо больше, чем понимание последствий логики. Поэтому я оставлю математику математикам и останусь благодарен за их работу, так как она значительно облегчает ученым задачу исследования того, как устроена Вселенная.

Итак, тем, кто отважно спорит в интернете о иерархии наук, я бы сказал, что все они интересны (хотя я действительно считаю, что физика лежит в основе всех остальных). Математика существует вне науки — это даже более чистая дисциплина. Она упрощает работу ученых в их самой амбициозной цели — попытке понять всё.