Бесконечность бесконечностей

Недавно исследователи обнаружили две новые бесконечности, которые ломают правила математики.

Существует ли бесконечность бесконечностей? Вопрос звучит почти абсурдно, как загадка, призванная завязать ваш мозг в узел. Но для математиков это серьезная — и бесконечно увлекательная — головоломка. Не вызывает сомнений то, что бесконечность не бывает только одной разновидности.

Веками математики классифицировали бесконечности, располагая их на своеобразной лестнице. Бесконечное множество натуральных чисел 1, 2, 3 и так далее находится на одной ступени. На более высокой ступени расположилось бесконечное множество действительных чисел, которое включает в себя десятичные дроби и отрицательные числа, и оно кардинально больше предыдущего. А оттуда бесконечности каскадом устремляются вверх, образуя бесконечную иерархию.

Недавно исследователи из Венского технического университета и Барселонского университета обнаружили два новых слоя этой бездны, и они не совсем подчиняются привычным правилам. Эти новые типы бесконечностей называются точными и сверхточными кардиналами. В отличие от своих предшественников, эти кардиналы отказываются аккуратно вписываться в установленную иерархию бесконечностей. Их открытие заставляет математиков переосмыслить, что на самом деле означает бесконечность — и не скрывается ли в ее основе хаос.

Сколько существует бесконечностей?

Классификация бесконечности происходит по иерархическому принципу, где одни бесконечности больше других. Например, бесконечность счётных чисел (1, 2, 3, …) меньше бесконечности действительных чисел, которая включает в себя бесконечность десятичных дробей между 0 и 1 (и не только).

Математики используют «большие кардинальные аксиомы», чтобы описать эти слои, определяя конкретные типы бесконечных чисел с уникальными и мощными свойствами. У основания лестницы находится бесконечность натуральных чисел, ℵ₀ (алеф-ноль). Поднимаясь выше, мы обнаруживаем бесконечности все большего размера и сложности: измеримые кардиналы, суперкомпактные кардиналы и даже так называемые «гигантские» кардиналы.

Эти аксиомы следовали предсказуемой линейной прогрессии. Каждая новая «ступенька» лестницы строилась на предыдущей, создавая устойчивую структуру. Но по мере роста этих бесконечностей они доводят до предела основополагающие правила математики. Большие кардиналы, например, существуют вне ZFC — теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, основы почти всей современной математики.

«Числа настолько большие, что нельзя доказать их существование, используя стандартные аксиомы математики», — так описывает эти сущности Джоан Багариа, математик из ICREA и Барселонского университета. Их существование должно быть постулировано с помощью новых аксиом. Однако их полезность невозможно переоценить: они позволяют математикам исследовать области математики, которые в противном случае остались бы неразрешимыми.

Точные и сверхточные кардиналы — новейшие дополнения к этому пантеону. По словам Багариа, эти кардиналы «находятся в самой верхней области иерархии больших кардиналов» и, по-видимому, совместимы с аксиомой выбора.

Точные кардиналы обладают более сильными («большими») свойствами, чем многие ранее известные большие кардиналы, а это означает, что они могут взаимодействовать с математической вселенной новыми и неожиданными способами. Сверхточные кардиналы — это еще более мощная и ограничивающая версия точных кардиналов. Представьте их как точные кардиналы с дополнительными «суперспособностями», которые позволяют им взаимодействовать с бесконечностью таким образом, что усиливает их влияние на математическую вселенную.

Порядок, хаос и гипотеза HOD

Десятилетиями математики спорили о том, можно ли когда-нибудь «приручить» бесконечность. Одна из путеводных надежд заключалась в гипотезе HOD, которая предполагает, что даже самые непокорные бесконечности могут вписываться в более широкий порядок.

HOD (Hereditary Ordinal Definability), или наследственная ординальная определимость, предполагает, что бесконечно большие множества можно определить, «досчитав до них». Если это правда, то это внесет порядок в математическую вселенную, согласовав аксиому выбора с самыми большими бесконечностями.

Но эти новые кардиналы мутят воду. Точные и сверхточные кардиналы, похоже, нарушают традиционные закономерности. «Как правило, большие понятия бесконечности „упорядочивают себя”», — объяснил Хуан Агилера, соавтор статьи и математик из Венского технического университета. «Сверхточные кардиналы, похоже, отличаются. Они очень странно взаимодействуют с предыдущими понятиями бесконечности».

Последствия нового открытия могут быть серьезными. Если эти новые кардиналы будут приняты, они могут стать веским доказательством против гипотезы HOD. «Это может означать, что структура бесконечности сложнее, чем мы думали», — сказал Агилера.

Почему вас это должно волновать?

Речь идет не просто о добавлении нового числа в математический справочник. Такие открытия имеют неожиданные последствия. Бесконечность лежит в основе прорывов в криптографии, искусственном интеллекте и космологии. Когда математики открывают новые знания о бесконечности, они прокладывают путь для прогресса в таких разных областях, как кибербезопасность и изучение черных дыр.

Точные кардиналы также заставляют нас сталкиваться с более глубокими философскими вопросами. Сможем ли мы когда-либо полностью понять вселенную, если бесконечность продолжает нас удивлять?

Результаты исследования опубликованы на сервере препринтов arXiv.

Мы на Дзен